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理解算理 探索算法 提高能力

  作者:  发布时间:2018-07-08 15:02:31  点击次数:53次

理解算理 探索算法 提高能力——“两、三位数除以一位数”教材解析和教学建议
作者:江苏省南通市崇川学校 王 芳  录入时间:2018-7-4  阅读次数:77



“两、三位数除以一位数”是苏教版教材三年级上册第四单元的教学内容。这部分内容主要包括:整十、整百数除以一位数的口算,两位数除以一位数的口算,两、三位数除以一位数的笔算,除法的验算,以及用除法和加、减法解决的简单的两步计算实际问题。学生学习这部分内容的知识基础主要有两个,一是表内除法和简单有余数除法的计算经验,二是对与乘、除法有关的数量关系的理解。通过本单元的学习,一方面能使学生掌握相应的除法口算、笔算和验算方法,形成必要的计算技能;另一方面也有助于他们丰富对除法运算意义、运算特点以及运算性质的认识,进一步积累探索计算方法和规律的经验,提高分析和解决简单实际问题的能力。

一、教材解析

本单元内容大体分三段安排:第一段教学整十、整百数除以一位数的口算,首位或首两位能够整除的两、三位数除以一位数的笔算,除法的验算;第二段教学首位不能整除和不够除的两、三位数除以一位数的笔算;第三段教学商中间或末尾有0的除法。最后,还安排了单元复习。从内容的编排和教学活动的设计来看,主要有如下一些值得关注的特点。

1.着眼知识自身的发展逻辑合理安排教学线索。

本单元把两位数除以一位数与三位数除以一位数的内容整合在一起进行教学,内容较多,容量较大。为了合理分解教学目标,分散教学难点,教材着眼知识自身的发展逻辑合理安排教学线索。

首先,着眼表内除法与两、三位数除以一位数除法的内在关联,先教学整十、整百数除以一位数的口算,再引导学生以此为基础探索两、三位数除以一位数的笔算方法。这是因为,两、三位数除以一位数的笔算过程,都可以分解为整十、整百数除以一位数,以及一些简单的表内除法。只有掌握整十、整百数除以一位数的口算,才能为两、三位数除以一位数笔算方法的探索扫清认知障碍,也才能使学生更好地理解和运用相关的计算原理。

其次,教学除法笔算时,先教学基本的笔算方法,再教学商中间或末尾有0的除法。这是因为,探索商中间或末尾有0的笔算方法时,不仅需要学生掌握三位数除以一位数的一般步骤与方法,而且需要他们根据具体情况准确做出是否商0的判断。在基本笔算方法的教学中,先教学两位数除以一位数的笔算,再教学三位数除以一位数的笔算;先教学首位能够整除的笔算,再教学首位不能整除的笔算;先教学首位够除的笔算,再教学首位不够除的笔算。这样的安排,将相关教学内容组成一个相对合理的知识序列,有利于学生基于已有的知识经验进行类推,实现自主迁移,并逐步形成良好的认知结构。

再次,结合两、三位数除以一位数笔算方法的教学过程,引导学生自主探索两位数除以一位数的口算方法,帮助他们从不同角度丰富对计算原理和方法的理解,逐步提高计算能力。

2.依据计算内容的特点引领计算方法的探索。

本单元所安排的不同除法内容之间既存在密切的关联,同时又存在教学层面的诸多差异。例如,就两位数除以一位数而言,理解的难点是如何将被除数进行合理的分解,并由此确定相应的笔算程序;对三位数除以一位数而言,首要的问题是商究竟是两位数还是三位数,并由此确定每一次商的意义和它在竖式中的位置。教材注意根据不同计算内容自身的特点,引导学生选择合适的探索方向和思路。

在教学整十、整百数除以一位数的口算时,侧重引导学生将表内除法的口算方法加以类推,在类推的过程中感悟算理,掌握方法。例如,因为6除以3得2,所以6个十除以3得2个十,2个十就是20;同样的道理,因为6除以3得2,所以6个百除以3得2个百,2个百就是200。

在教学两位数除以一位数的笔算时,侧重引导学生通过有序的操作带动有序的思考,帮助他们联系操作过程理解相应除法竖式的结构和计算程序。例如,教学52÷2的计算时,先让学生通过操作将5捆带2根小棒平均分成2份,体会每份先分得2捆之后,要把剩下的1捆打开并与尚未均分的2根合在一起继续分,这样就能使一个相对复杂的平均分的过程转化为两个连续的、相对熟悉的平均分的操作,从而使问题得以解决。由此,进一步引导学生联系上述操作活动的过程,探索并理解相应的竖式计算过程,并通过验算对计算方法加以确认。

在教学三位除以一位数的笔算时,教材侧重引导学生借助估算理解商是几十多还是几百多,以估算结果支持对笔算方法的探索,在估算过程中反思笔算方法的合理性。例如,教学首位够除的三位数除以一位数的笔算时,先引导学生估计“结果大约是几百多”,启发他们由“七百多除以2得三百多”想到738÷2的商一定是三位数,所以可以先算7个百除以2,商是3个百还余1个百;再将这1个百与十位上的3个十合起来除以2,商是6个十还余1个十;最后将这1个十与个位上的8个一合起来除以2,得9个一。

3.通过组织比较发现一些有价值的计算规律。

为了加深学生对相关计算原理和方法的理解,不断提高计算能力,教材注意设计一些有针对性的题组练习,引导他们在比较中把握相关式题的联系和区别,发现一些有价值的计算规律,丰富数学活动经验,发展数学思维。例如,教学整十、整百数除以一位数的口算之后,教材安排如下的对比题组,引导学生进一步体会整十、整百数除以一位数的口算方法与相应表内除法的内在关联。

   又如,在教学两、三位数除以一位数的基本笔算方法之后,教材在练习八中两个连续的对比题组。先通过三组式题的对比,引导学生由各位都能整除的两位数除以一位数的口算方法类推出首位不能整除的两位数除以一位数的口算方法;再通过三组式题的对比,引导学生基于乘、除法之间的关系进一步加深对上述口算方法的理解。

   再如,在组织本单元知识的复习时,教材安排了三组三位数除以一位数式题与相应两步连除式题的对比,引导学生在比较的过程中初步体会除法的一些重要的运算性质,并由此逐步产生应用计算规律、优化计算方法的心理需求。  

4.在解决实际问题的过程中感受计算的意义和价值。

学生学习除法计算,不仅是为了提升运算能力,也是为了解决相关的实际问题。因为通过解决简单实际问题不仅可以强化探索并掌握计算方法的心理需求,促进对计算原理和计算方法的理解,而且有助于他们感受计算的实际应用价值,不断丰富对相关数量关系的认识,提高分析和解决实际问题的能力。

组织教学内容和相应的教学活动时,教材一方面注意从实际问题引入新的计算问题,将计算融于现实的情境之中,促使学生产生主动探索相关计算方法的愿望,并将生活经验自觉应用于计算方法的探索过程之中。例如,教学除法的验算时,教材创设了一个简单的购物情境,引导学生基于购物情境中的典型问题产生对除法计算结果进行验算的心理需求,并借助相对熟悉的购物情境中的数量关系探索并理解相应的验算方法。

另一方面则注意在练习中安排一些用表格、图文对话等形式呈现的实际问题,引导学生从不同角度、不同层面感受所学计算的广泛应用价值。例如,在教学首位能够整除的三位数除以一位数的笔算以及除法的验算之后,教材在练习七中安排了两个实际问题,引导学生初步学会用除法和加、减法解决一些简单的两步计算的实际问题。其中,第11题本质上是一个连续两问的实际问题,有助于学生初步感受两步计算实际问题的内部结构。第12题侧重引导学生联系生活常识确定解决问题的思路,有助于他们积累分析和解决两步计算实际问题的初步经验,提高对相关数量关系的理解水平。      

二、教学建议

如前所述,教学“两、三位数除以一位数”的目的,一方面是为了帮助学生在理解计算原理、掌握计算方法的基础上陈诚必要的计算技能,并为将来学习更加复杂的除法运算提供支持;另一方面也是为了引导学生经历计算方法的探索过程,积累探索学习的经验,发展观察、比较、抽象、概括、分析、推理的能力。所以,实际教学时,要紧紧围绕理解计算原理、探索计算方法、提高计算能力这根主线,引导学生实实在在地经历活动过程,开展数学思考,提升核心素养。

1.合理组织教学内容,促进计算方法的自主迁移。

数学知识的内部总是存在着各种各样的逻辑关联,新的、复杂的知识都是从已有的、相对简单的知识之中逐步生长出来的。所以,教学时要通过合理组织教学内容、科学安排教学程序、精心设计活动线索,引导学生主动开展探索性学习,促进已有知识经验的不断迁移。

教学整十、整百数除以一位数的口算时,可以先让学生基于简单的问题背景列出60÷3这样的算式。接着,侧重引导学生联系表内除法的计算经验进行简单的类推,即如“因为6÷3=2,所以6个十除以3得2个十,2个十就是20”。由此,鼓励学生继续探索600÷3的计算方法,引导他们仿照上述思考过程再次开展类推,明确“因为6÷3=2,所以6个百除以3得2个百,2个百就是200”。在学生初步理解计算原理、掌握计算方法的基础上,可以组织学生进一步比较12÷3与120÷3,24÷8与240÷8,40÷5与400÷5等相关式题,说说每组两题的联系和区别,知道只要把每组第二题的被除数看做若干个十,就可以按照相应的表内除法进行口算,从而使先前已经掌握的计算方法得到进一步的拓展。

两位数除以一位数的口算也是本单元的基本教学内容。按照首位是否能够整除,这些口算式题也可分为两类,一类是首位能够整除的两位数除以一位数,另一类是首位不能整除的两位数除以一位数。对于首位能够整除的两位数除以一位数的口算,可以侧重引导学生联系整十数除以一位数的口算方法以及两位数除以一位数的笔算方法进行思考。例如,口算69÷3时,可以先把69拆成60与9相加的形式,先算60除以3,再算9除以3,最后将两次算出的商合起来。对于首位不能整除的两位数除以一位数的口算,可以侧重引导学生联系上述首位能够整除的两位数除以一位数的口算过程进行思考。例如,口算48÷3时,可以先把48拆成30与18相加的形式,先算30除以3,再算18除以3,最后将两次算出的商合起来。当然,上面提到要将48拆成两个数相加的形式,但是究竟拆成哪两个数相加,还是需要掂量掂量的。基本的原则是,拆成的整十数要尽可能大,而且用这个整十数除以一位数时要便于直接口算出结果。

和两位数除以一位数的笔算方法相比,三位数除以一位数的笔算方法并没有实质性的差异,学生头脑中有关笔算方法的认知结构也不需要进行实质性的改组。所以,教学时要注意引导学生将两位数除以一位数的笔算经验迁移到三位数除以一位数笔算方法的探索过程之中,帮助他们通过类推实现计算方法的自主完善。例如,教学首位能够整除的两位数除以一位数的笔算之后,可以直接首两位都能整除的三位数除以一位数的式题,要求学生仿照此前学习的笔算方法独立完成相应的竖式计算过程。同时,也可抓住上述两种式题的关键差异进行适当的提示,即如:第一步要用被除数哪一位上的数去除以一位数?用被除数百位上的“2”除以2,得到的“1”应该写在商的哪一位上?为什么?从而帮助他们顺利完成相关计算方法的迁移。

2.认真组织操作活动,理解计算的基本原理和方法。

和学生已有的除法计算经验相比,两位数除以一位数的笔算过程和方法不仅相对复杂,而且不易理解。其中的原因主要是,两位数除以一位数的笔算过程本质上属于分段计算,即先用几个十除以一位数,再用几个一除以一位数,最后将两次算出的结果合起来。这与学生已有的除法计算经验存在较大的差异。而且,上述计算方法的依据其实是若干个数的和除以一个数的除法运算性质,但三年级学生并不具备对这一运算性质的理性认识。所以,组织教学时,要充分利用学生对上述运算性质合理性的感性经验,引导他们在平均分的操作活动和相应的除法竖式之间建立起必要的联系,借助直观的操作理解抽象的算理和算法。

例如,教学首位能够整除的两位数除以一位数时,可以先让学生基于简单的问题背景列出46÷2这样的算式。接着,引导学生通过平均分小棒的操作求出这个算式的计算结果:先摆出4捆带6根小棒表示被除数46。为了将4捆带6根小棒平均分成2份,可以先把4捆小棒平均分成2份,每份是2捆,也就是20根;再把6根小棒平均分成2份,每份是3根;最后将两次平均分的结果合起来,得出每份有23根小棒。在此基础上,呈现用竖式计算的完整过程,引导学生联系上述操作活动经验,初步理解笔算的基本程序和商的定位规则,即:先用被除数十位上的“4”除以2,因为得到的商表示2个十,所以要把“2”写在商的十位上;再用被除数个位上的“6”除以2,因为得到的商表示3个一,所以要把“3”写在商的个位上。

3.将估算和笔算有机结合,不断提高计算方法的探索水平。

本单元安排的三位数除以一位数的笔算包含了很多复杂的情形。除了前面提到的首两位能够整除的式题,还有首位不能整除的,首位不够除的,以及商中间或末尾有0的三位数除以一位数的式题。正确完成上述计算,不仅需要掌握相应的笔算程序和商的定位规则,而且需要对计算结果的合理性进行适当的预判。只有这样,学生才不会将应该写在十位上的商写在百位上,也不会漏写商中间或末尾的0。对计算结果的合理性进行预判的基本方法就是结合问题背景开展相应的估算活动。通过估算,不仅可以明确商的大致范围,而且可以为接下来的探索活动指引方向,从而帮助学生进一步提高探索相关计算方法的水平。

例如,教学首位不够除的三位数除以一位数时,在学生依据问题背景列出算式312÷4之后,可以直接要求他们估计这道题的计算结果是比100大还是比100小,并通过交流明确:因为被除数百位上的“3”比除数4小,不够除,所以商不够1个百,只能是两位数;或根据乘、除法之间的关系,假设商是100,那么100×4=400,而事实上被除数比400小,所以商应该比100小。接着,呈现有待完成的不完整的竖式,要求学生利用估算的结果把竖式补充完整,并在学生完成竖式之后,组织讨论:被除数的百位上是“3”,比4小,3除以4不够除该怎么办?用被除数前两位的“31”除以4,得到的上和余数分别是几?“7”为什么要写在商的十位上?从而使学生在讨论中明确算理、掌握算法。最后,要求学生对上述计算结果进行验算,通过验算进一步确认相关计算方法的正确性。

   4.在计算和比较中积极思考,逐步加深对除法运算过程和特点的认识。

前面提到,在本单元的教学中,教材设置了很多针对性的对比题组。其目的,一是为了引导学生逐步加深对相关式题计算过程和特点的认识,二是为了启发他们发现一些有价值的计算规律,以不断提高计算水平。为了更好地发挥这些对比性题组的教学功能,教学时要在学生独立完成计算的基础上,引导他们及时开展分析和比较,通过积极主动的思考,获得更多有益的感悟。

例如,在教学商中间或末尾有0的三位数除以一位数的计算方法之后,可以组织学生计算并比较如下的几组式题:480÷4和408÷4,870÷3和872÷3,610÷5和603÷5。引导他们在计算、比较中体会商中间有0与商末尾有0,0除以一个数商0与不够商1要商0,以及被除数中间或末尾的0与商中间或末尾的0的联系和区别,进而对商中间或末尾有0的三位数除以一位数的计算方法加以适当的整合。又如,组织单元复习时,可以设计如下的趣味练习:先让学生用2、1、6这三个数字组成6个不同的三位数,再让他们用组成的这6个不同的三位数依次除以9,看得到的结果有没有余数。由此启发学生思考:用2、1、6这三个数字组成的三位数除以9都没有余数,是不是任意三个数字组成的三位数除以9都没有余数呢?在此基础上,引导他们通过进一步的举例计算和分析比较,提出并发现更多有价值的问题,真正感受计算学习过程所蕴含的趣味性和吸引力。

总之,深刻理解教材是合理组织教学的前提。只有准确把握教材编排的核心思想和基本思路,才能充分发挥相关数学内容和数学活动的教学价值,促进学生诸方面素质的和谐发展。


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